El modelado matemático en biología implica el uso de una variedad de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones muestran cómo una determinada función cambia y contienen derivadas de funciones que podrían ser desconocidas. Podrían ser ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales, ecuaciones diferenciales estocásticas, ecuaciones lineales o no lineales, de primer, segundo o tercer orden, etc.
A veces, las ecuaciones diferenciales utilizadas tienen soluciones precisas, y a veces se calculan o utilizan soluciones numéricas o aproximaciones.
Aquí hay unos ejemplos:
Una función logística o curva logística es una forma común de “S” (curva sigmoidea), con ecuación:
[math] {\ displaystyle f (x) = {\ frac {L} {1+ \ mathrm {e} ^ {- k (x-x_ {0})}}}} [/ math]
dónde
- e = la base del logaritmo natural (también conocido como el número de Euler),
- [math] x_0 [/ math] = el valor x del punto medio del sigmoide,
- L = el valor máximo de la curva, y
- k = la inclinación de la curva […]
La función logística estándar es la solución de la ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden simple
[math] {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} f (x) = f (x) (1-f (x))} [/ math]
con condición de frontera f (0) = 1/2. Esta ecuación es la versión continua del mapa logístico.
Fuente: función logística – Wikipedia
Las ecuaciones diferenciales relacionadas son las ecuaciones de Lotka-Volterra:
Las ecuaciones de Lotka-Volterra , también conocidas como ecuaciones de depredador-presa , son un par de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden que se usan frecuentemente para describir la dinámica de los sistemas biológicos en los que interactúan dos especies, una como depredador y otra como presa. Las poblaciones cambian a través del tiempo de acuerdo con el par de ecuaciones:
[math] {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {dx} {dt}} & = \ alpha x- \ beta xy \\ [6pt] {\ frac {dy} {dt}} & = \ delta xy- \ gamma y \ end {aligned}}} [/ math]
dónde
- x es el número de presas (por ejemplo, conejos);
- y es el número de algún depredador (por ejemplo, zorros);
- [math] {\ displaystyle {\ tfrac {dy} {dt}}} [/ math] y [math] {\ displaystyle {\ tfrac {dx} {dt}}} [/ math] representan las tasas de crecimiento de los dos poblaciones a lo largo del tiempo;
- t representa el tiempo; y
- α, β, γ, δ son parámetros reales positivos que describen la interacción de las dos especies. […]
Significado físico de las ecuaciones
El modelo de Lotka-Volterra hace una serie de suposiciones sobre el medio ambiente y la evolución de las poblaciones de depredadores y presas:
- La población de presas encuentra abundante alimento en todo momento.
- El suministro de alimentos de la población de depredadores depende enteramente del tamaño de la población de presas.
- La tasa de cambio de población es proporcional a su tamaño.
- Durante el proceso, el entorno no cambia a favor de una especie y la adaptación genética es intrascendente.
- Los depredadores tienen un apetito ilimitado.
Como se usan ecuaciones diferenciales, la solución es determinista y continua. Esto, a su vez, implica que las generaciones tanto del depredador como de la presa se superponen continuamente.
En la bioquímica y en las reacciones bioquímicas, la ley de la acción de masas se utiliza para representar la velocidad a la que varios productos químicos interactúan para dar productos o formar compuestos. Esta descripción de la velocidad de cambio de la concentración de un compuesto incluye la elaboración de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Como un ejemplo, la reacción
[math] \ displaystyle A + B \ overset {k} {\ longrightarrow} P [/ math]
produce las ecuaciones diferenciales
[math] \ displaystyle {\ frac {d [{{A}}]} {dt}} = – k [A] [B] [/ math]
[math] \ displaystyle {\ frac {d [{{B}}]} {dt}} = – k [A] [B] [/ math]
[math] \ displaystyle {\ frac {d [{{P}}]} {dt}} = k [A] [B] [/ math]
donde [matemáticas] [A] [/ math] es la concentración de químico [matemáticas] A [/ math], y [math] k [/ math] es el coeficiente de la velocidad de reacción con unidades de concentración o tiempo. En relación con este tema, ver también el artículo Ecuaciones de tasas – Wikipedia.
Otro ejemplo de una ecuación diferencial utilizada en biología y dinámica evolutiva es la ecuación Replicator:
La forma continua más general viene dada por la ecuación diferencial
[math] {\ displaystyle {\ dot {x_ {i}}} = x_ {i} [f_ {i} (x) – \ phi (x)], \ quad \ phi (x) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {x_ {j} f_ {j} (x)}} [/ math]
donde [math] {\ displaystyle x_ {i}} [/ math] es la proporción de tipo [math] {\ displaystyle i} [/ math] en la población, [math] {\ displaystyle x = (x_ {1} , \ ldots, x_ {n})} [/ math] es el vector de la distribución de tipos en la población, [math] {\ displaystyle f_ {i} (x)} [/ math] es la aptitud del tipo [ math] {\ displaystyle i} [/ math] (que depende de la población), y [math] {\ displaystyle \ phi (x)} [/ math] es la aptitud promedio de la población (dada por el promedio ponderado de la aptitud de los tipos [math] {\ displaystyle n} [/ math] en la población). Dado que los elementos del vector de población [math] {\ displaystyle x} [/ math] se suman a la unidad por definición, la ecuación se define en n-dimensional simplex.
La ecuación del replicador supone una distribución de población uniforme; es decir, no incorpora la estructura de la población en la aptitud. El paisaje de acondicionamiento físico incorpora la distribución de tipos de población, en contraste con otras ecuaciones similares, como la ecuación de cuasiespecies. […]
Relaciones con otras ecuaciones
La ecuación del replicador continuo en los tipos [math] {\ displaystyle n} [/ math] es equivalente a la ecuación de Lotka-Volterra generalizada en las dimensiones [math] {\ displaystyle n-1} [/ math]. La transformación se realiza mediante el cambio de variables
[math] {\ displaystyle x_ {i} = {\ frac {y_ {i}} {1+ \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} {y_ {j}}}} \ quad i = 1 , \ ldots, n-1} [/ math]
[math] {\ displaystyle x_ {n} = {\ frac {1} {1+ \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} {y_ {j}}}}},} [/ math]
donde [math] {\ displaystyle y_ {i}} [/ math] es la variable de Lotka-Volterra.
En medicina, la diabetes y el metabolismo de la glucosa se pueden modelar, analizar y estudiar utilizando un sistema de ecuaciones diferenciales que contienen las tasas de cambio de las concentraciones sanguíneas de glucosa e insulina.
Otro ejemplo más de ecuaciones diferenciales en biología, neurociencia y electrofisiología es el modelo de Hodgkin-Huxley.
