Sus detalles son muy vagos, y no entiendo cómo encaja su tratamiento médico, pero asumo que usted no es un visado nacional y ha ingresado al Reino Unido como visitante estándar por 6 meses, sin autorización de entrada previa.
No puedes simplemente quedarse más tiempo. Si está demasiado enfermo para viajar o desea extender su estadía para recibir tratamiento médico privado adicional, le aconsejo que busque asesoramiento legal sobre inmigración. Cualquier aplicación estaría sujeta al Recargo de Salud de Inmigración.
No sería elegible para el tratamiento gratuito del NHS sin un permiso válido para estar en el Reino Unido, pero estoy seguro de que lo sabe.