¿Hay algún estudio que compare grupos que toman vacunas con grupos que no lo hacen? ¿Prueba que las vacunas funcionan?

Por supuesto. Dichos estudios se realizan para evaluar la efectividad de las vacunas. Aquí hay un ejemplo:

Villa, LL, Costa, RLR., Et al., (2005). En The Lancet Oncology 6 (5). p.271-278

Este fue un estudio aleatorizado, doble ciego controlado con placebo de fase II [el tipo más riguroso] para evaluar la eficacia de una vacuna tetravalente profiláctica dirigida a los tipos del virus del papiloma humano (VPH) que están asociados con el 70% de los cánceres de cuello uterino y con el 90% Verrugas genitales. Doscientas setenta y siete mujeres jóvenes (edad promedio 20.2 años [SD 1.7]) fueron asignadas aleatoriamente a la vacuna cuadrivalente contra el VPH y 275 (edad media 20.0 años [1.7]) a una de dos preparaciones placebo el día 1, mes 2, y mes 6. Durante 36 meses, los participantes se sometieron a exámenes ginecológicos regulares, toma de muestras cervicovaginales para ADN del VPH, pruebas de anticuerpos séricos al VPH y pruebas de Papanicolaou.

Los hallazgos mostraron que la incidencia combinada de infección persistente o enfermedad con VPH se redujo en un 90% (95% CI 71-97, p <0,0001) en aquellos asignados a la vacuna en comparación con los asignados a placebo. Claramente, la vacuna dirigida al VPH podría reducir sustancialmente la adquisición de infección y la enfermedad clínica causada por los tipos comunes de VPH.

Cada vacuna que llega al mercado debe pasar por una rigurosa prueba de prueba de 4 fases, después de una fase preclínica. Aquí hay más detalles: Prueba de vacunación – Wikipedia