¿Las células de papá conducen electricidad?

Sí. Las células tienen iones (Na, K, Cl) en un medio líquido que puede conducir la electricidad. Es por eso que te sorprenden al tocar el cable en vivo.
Las células nerviosas lo hacen todo el tiempo usando muchos canales de Na y K presentes en su membrana celular.
Más información: Conducción de neuronas