¿Las personas que se sometieron a un trasplante de corazón consideran que el nuevo corazón es parte de sí mismos o de algo de lo que dependen?

Por supuesto, dependen de ello, pero la mayoría de las personas lo ven como una parte de sí mismos.
El corazón no tiene personalidad ni emociones, y es principalmente en historias de ficción donde la persona cree que su “nuevo” corazón lo hace sentir o hacer cosas extrañas.