Cómo encontrar el lado de un octágono en términos de su área A

Supongo que estamos hablando de un octágono regular. “The side” sugiere que son todos iguales. Si no es regular, no se puede resolver.

Como un octágono se puede ver como 8 triángulos isósceles, y un triángulo es bastante fácil de manipular, tiene sentido analizar el triángulo con un ángulo de vértice de 45 grados, área A / 8.

El área de este triángulo es AB.CD/2, o AD.CD (la quora tonta siguió haciendo ese enlace a un banco)

Como tenemos un triángulo en ángulo recto, ahora sabemos
tan (22.5) = AD / CD
AD.CD = T = A / 8

Parece que eso no debería ser demasiado difícil. Tengo que irme, es hora del desayuno.

Yo recomendaría empezar de espaldas. Si tiene la longitud del lado ny supone que tiene un octágono regular, puede dibujar el centro de este octágono. Desde el centro, puede crear 8 triángulos isósceles idénticos con base n. Porque hay 360˚ en un círculo y el centro está dividido en 8 partes iguales, lo que significa que cada uno sería 45˚. Debido a que los triángulos son isósceles, los 2 ángulos restantes tienen la misma medida: 135 / 2˚. Entonces podemos dejar caer la perpendicular desde el punto central a uno de los lados del octágono. Debido a que el triángulo es isósceles, esto bisectará el ángulo central y caerá al punto medio del lado del octágono. Entonces podemos usar la ley de los senos para encontrar la altura, h, del triángulo: sin (45 / 2˚) / (n / 2) = sin (135 / 2˚) / h. Si realiza una reorganización y simplificación de las funciones trigonométricas, eventualmente obtendrá la altura. nh / 2 = área del triángulo y 8 triángulos conforman el octágono. Dado todo esto, el área del octágono cuando se realiza toda la simplificación es: 2 (n ^ 2) (sqrt (2) +1). Entonces podemos resolver por n en términos de A.

2 (n ^ 2) (sqrt (2) +1) = A

n = sqrt (2 (sqrt (2) -1) A) / 2

No puedes, a menos que sea un polígono regular.

Si se trata de un polígono regular, la fórmula para el área, dado el número de lados y la longitud de un lado, es:

[matemáticas] A = \ frac {s ^ {2} n} {4 \ tan {\ frac {180} {n}}} [/ math]

Luego resuelve s, con 8 lados:

[math] s = \ sqrt {\ frac {A \ tan {22.5}} {2}} [/ math]

Si tiene curiosidad de dónde viene la fórmula original: respuesta de Carter McClung a ¿Cómo se encuentra el área de un polígono regular, dada la cantidad de lados y la longitud de los lados?