Cuando alguien dice ‘se fue por el agujero equivocado’ y comienza a toser incontrolablemente, ¿qué está pasando exactamente?

El término médico para esto es aspiración. Se refiere al paso de líquidos, alimentos, saliva (secreciones) o cualquier otra cosa que no sea aire hacia los pulmones.
En una persona sana, el cuerpo detecta el invasor extraño y desencadena un ataque violento de tos para devolver el objeto a la garganta superior.