¿Por qué la altura deja de crecer después de cierta edad, pero el cuerpo puede crecer?

La respuesta de Matan Shelomi ya capta lo esencial.

Su longitud al final se determina por cuánto tiempo crecerán sus huesos largos. El crecimiento de los huesos largos es posible siempre y cuando cerca de ambos extremos todavía tengamos zonas cartilaginosas que llamamos placas de crecimiento o placas epifisarias que producirán células óseas, por lo que aumentan la longitud de los huesos largos y nos hacen crecer en longitud.
Aproximadamente dos años después de la etapa de crecimiento en la pubertad bajo influencias hormonales (sexuales) estas placas de crecimiento se osificarán por completo, por lo que ya no podrán producir nuevas células óseas para hacernos crecer, y luego habrá alcanzado su altura máxima.

Como estas placas de crecimiento son más blandas que el hueso circundante, las fracturas óseas en personas jóvenes a menudo pueden ocurrir aquí, y esto puede tener graves consecuencias para la longitud final de esta persona porque la placa de crecimiento puede dañarse y el crecimiento atrofiado después, incluso una extremidad creciendo menos que el que no daña, lo que lleva a muchos problemas más adelante en la vida.
Tejidos blandos, por ejemplo, los músculos aún pueden crecer, no en longitud sino en circunferencia.
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Tus huesos en crecimiento: todo sobre las placas de crecimiento
Lesiones de placa de crecimiento

Placas de crecimiento, AKA Epiphyseal plates. Su altura está determinada por la longitud de sus huesos largos. Después de la pubertad, las placas se fusionan y tus huesos ya no crecen más. Tus músculos y tu grasa aún pueden crecer, aunque de maneras muy diferentes y por diferentes razones, pero tus huesos ya no durarán más y tu altura quedará estancada. Sus hormonas son las que afectan estos cambios entre la pubertad y la edad adulta. Me inclino por un médico humano para más detalles.