Históricamente, esto es exactamente cómo se trató dy / dx . Sin embargo, los libros que se acercaron a él como tales incluyen secciones tempranas sobre “órdenes de pequeñas cantidades”, que trata sobre cuándo “la relación de dos cantidades que son indefinidamente pequeñas” se vuelve finita, infinitesimal (indefinidamente pequeña) y puede descartarse, o infinito (indefinidamente grande). Con el análisis no estándar, estos mismos problemas se manejan de una manera más rigurosa, pero con los mismos resultados prácticos. Y en Física, uno podría argumentar que interpretar dy / dx de esta manera, e incluso enseñar de esta manera nunca ha pasado de moda. Algunos incluso argumentarían que permite un enfoque más intuitivo del cálculo, históricamente es más preciso. Mientras esto se maneje de alguna manera, no hay problema para considerar dy / dx como una fracción o cociente diferencial. (Que en general se presenta como un límite, hoy en día).
De hecho, casi cualquier libro de cálculo de antes de 1900 habría hecho esto; y muchos textos de cálculo bien pensados hasta bien entrado el siglo XX también lo hicieron. La dificultad era que si un sistema numérico incluía números infinitesimales o infinitos, el axioma de Arquímedes -la idea de que para cualquier número (no negativo) distinto de cero, digamos a , y cualquier constante (no negativa), digamos k , hay un número n tal que a * n ≥ k – ya no era aplicable.
[Después de que se publicara Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la geometría) de Hilbert en 1899, las fundaciones adquirieron una importancia crítica para la enseñanza de las matemáticas. No fue sino hasta el desarrollo de la teoría de categorías en la segunda mitad del siglo XX que los números no estándar se pudieron colocar sobre una base sólida; es decir, los números reales podrían extenderse para incluir infinitesimales distintos de cero y sus inversas infinitas.]
[Abraham Robinson fue uno de los primeros en mostrar que era posible tener un modelo del sistema de números real (complejo) no arquimediano lógicamente consistente que incluye números infinitos e infinitesimales. Su libro Non-standard Analysis publicado en 1966 fue un cambio de paradigma para algunos, pero la teoría de categorías que utilizó estaba más allá de la experiencia de la mayoría en el campo del análisis. Wilhelmus Luxemburg pudo demostrar la misma consistencia usando ultrafiltros, lo que hizo que los números no estándar fueran más accesibles para una amplia gama de matemáticos.]
El primer libro de texto de cálculo moderno para tratar el cálculo introductorio utilizando este nuevo apuntalamiento para infinitesimales en lugar del enfoque épsilon delta se publicó en 1976 con una segunda edición en 1978. La segunda edición de Howard Jerome Keisler’s Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach está disponible en línea un archivo pdf. También se publicó una guía para la primera edición del libro para ayudar a los maestros a comprender mejor el análisis no estándar que el presentado en el libro. Una versión actualizada, con un capítulo para acompañar el capítulo de ecuaciones diferenciales de la versión de 1978 ahora está disponible en línea.
Sin embargo, en el momento de la segunda edición, gran parte del rigor del cálculo introductorio se estaba reduciendo a medida que. El movimiento de reforma de cálculo, continuó esto a través de su enfoque “pobre y malo” con un enfoque en las aplicaciones en lugar de la teoría. (Lo cual es irónico ya que la mayoría del trabajo de Robinson fue en aplicaciones en lugar de la teoría, y el enfoque de Kiesler aborda muchos de los mismos problemas.) Los problemas que se habían manejado bajo las “órdenes de pequeñas cantidades” en trabajos anteriores, se manejan con Partes de funciones estándar y no estándar, utilizando los principios de transferencia y extensión en la segunda edición de Keisler.
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Aunque recuerdo cuando el programa AP decidió que aceptarían el enfoque épsilon-delta o el enfoque no estándar en la calificación de los exámenes AP en Cálculo, no recuerdo cuándo sucedió realmente, fue hace bastante tiempo. No creo que ninguno de sus planes de estudio de ejemplo incluya un enfoque no estándar por más tiempo, pero he enseñado una clase de AP usándolo un par de veces durante la última década.
