Cuando la concentración de una molécula particular es igual en ambos lados de la membrana, ¿la molécula deja de moverse a través de la membrana?

No, no se detiene; se mantiene en equilibrio. Tal efecto se comprobó saturando una solución con algún reactivo particular para asegurar el equilibrio, y luego dejando una versión radiactiva del reactivo por un tiempo. Al eliminar el reactivo radiactivo, la solución se volvió radioactiva.

Si la membrana es permeable a esa molécula, no. Simplemente se mueve hacia adelante y hacia atrás a la misma velocidad en promedio con el tiempo. Si la membrana está transportando activamente esa molécula en una dirección, dependerá de la rapidez con que se transporte activamente en relación con el transporte pasivo en la otra dirección. Además, una vez que se alcanza un punto de equilibrio (sea cual sea el punto), la permeabilidad de la membrana puede verse alterada (común en los sistemas biológicos), por lo que a veces puede no haber movimiento en una o ambas direcciones. Si se trata de una permeabilidad de una vía, entonces la concentración puede llegar a ser muy ligeramente más alta en el lado de destino que el origen, y el grado en que eso es cierto dependerá de la molécula, el espesor de la membrana, otras moléculas en el sistema, la energía en el sistema (y dónde está esa energía) y la naturaleza de la permeabilidad de la membrana.

No. siempre que la molécula pueda moverse más allá de la membrana y pueda atravesarla. ENTONCES debe alcanzar un equilibrio y tanto pasa a un lado como pasa al otro lado.

Algo puede perturbar esto, como la aleatoriedad, pero volverá a empujar al sistema a equlibrium, suponiendo que no haya nada que intente forzar a la molécula a tener una mayor concentración en un lado o en el otro. Esto se conoce como isotónico. Cada lado está equilibrado con el otro lado.

Si la membrana es permeable al tipo específico de molécula, la respuesta es no.
Las moléculas simplemente se difunden a través de la membrana con la misma velocidad en ambas direcciones, por lo que parece que ninguna molécula se está moviendo.

Las moléculas están en equilibrio, pero las moléculas se mueven en ambas direcciones dependiendo de varios factores como la temperatura, el tamaño molecular y la interacción iónica, en su caso. Si la concentración de soluto es igual, ningún solvente favorecerá a un lado de la membrana sobre el otro.

No, el sistema está en equilibrio, lo que significa que no hay cambio porque cancela.