¿Cómo puede Km ([S] necesario para Vmax / 2) ser constante mientras que Vmax no?

Tu razonamiento es defectuoso. Vmax se expresa en mol / s, lo que significa que se extrae la cantidad de enzima. Vmax es una característica de una enzima (en las condiciones de prueba), y generalmente se determina bajo condiciones óptimas (pH, temperatura) usando un sustrato relevante o conveniente. Permite comparar enzimas similares (de diferentes organismos, por ejemplo) entre sí.

Si tiene más enzima, la velocidad de reacción aumentará proporcionalmente. Esto es válido para cualquier concentración de sustrato. Vamos a duplicar la concentración de la enzima. La tasa máxima Vmax se duplicará, y la tasa en Km también se duplicará, pero la relación entre estas dos tasas se mantendrá igual, es decir, 1/2.
Digamos que tienes 1 U de una enzima con una Km de 1 mM. Vmax es entonces 1 micromol / min y la velocidad en sustrato 1 mM es 0.5 micromol / min. Si tiene 2 U de enzima, Vmax es de 2 micromol / min y la velocidad a 1 mM de sustrato es de 1 micromol / min; esto sigue siendo 1/2 de Vmax.
Por lo tanto, cuanto mayor es Vmax, más sustrato [S] se necesita para alcanzar cierta velocidad de reacción, pero como Vmax también es más alto, Vmax / 2 también es más alto.